Trigonometria

Trigonometria (do grego trigōnon "triângulo" + metron "medida") é um ramo da matemática que estuda as relações entre os comprimentos de 2 lados de um triângulo retângulo (triângulo onde um dos ângulos mede 90 graus), para diferentes valores de um dos seus ângulos agudos. A abordagem da trigonometria penetra outros campos da geometria, como o estudo de esferas usando a trigonometria esférica.^[1]^[2]
A trigonometria tem aplicações importantes em vários ramos, tanto como na matemática pura, quanto na matemática aplicada e, consequentemente, nas ciências naturais. A trigonometria é comumente ensinada no Ensino M

Sobre a trigonometria

Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes são iguais. O fato crucial sobre triângulos semelhantes é que os comprimentos de seus lados são proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes o maior que o lado do triângulo similar, então o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo.
Usando estes fatos, definem-se as funções trigonométricas, começando pelos triângulos retângulos (triângulos com um ângulo reto 90 graus ou π/2 radianos). O maior lado em um triângulo qualquer é sempre o lado oposto ao maior ângulo e devido a soma dos ângulos de um triângulo ser 180 graus ou π radianos, o maior ângulo em um triângulo retângulo é o ângulo reto. O maior lado nesse triângulo, consequentemente, é o lado oposto ao ângulo reto, chamado de hipotenusa e os demais lados são chamados de catetos.
Dois triângulos retângulos que compartilham um segundo ângulo $A$ são necessariamente similares, e a proporção (ou razão) entre o comprimento do lado oposto a $A$ e o comprimento da hipotenusa será, portanto, a mesma nos dois triângulos. Este valor será um número entre 0 e 1 que depende apenas de $A$ . Este número é chamado de seno^[3] de A e é escrito como $\operatorname{sen}(A)$ . Similarmente, pode-se definir :

o cosseno (ou co-seno) de $A$ : é a proporção do comprimento do cateto adjacente ao ângulo $A$ em relação ao comprimento da hipotenusa
a tangente trigonométrica de $A$ : é a proporção do comprimento do cateto oposto ao ângulo $A$ em relação ao comprimento do cateto adjacente
a co-tangente de $A$ : é a proporção do comprimento do cateto adjacente ao ângulo $A$ em relação ao comprimento do cateto oposto - é o inverso da tangente
a secante trigonométrica de $A$ : é a proporção do comprimento da hipotenusa em relação ao comprimento do cateto adjacente ao ângulo $A$ - é o inverso do cosseno
a co-secante de $A$ : é a proporção do comprimento da hipotenusa em relação ao comprimento do cateto oposto ao ângulo $A$ - é o inverso do seno.

Círculo Trigonométrico

A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o ramo da Matemática que estuda a proporção, fixa, entre os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, para os diversos valores de um dos seus ângulos agudos. (Entre estes ângulos, os de 30º, 45º e 60º são denominados ângulos notáveis.) As proporções entre os 3 lados dos triângulos retângulos são denominadas de seno, cosseno, tangente e cotangente, dependendo dos lados considerados na proporção.
Já o Círculo Trigonométrico é um recurso criado para facilitar a visualização destas proporções entre os lados dos triângulos retângulos. Ele consiste em uma circunferência orientada de raio unitário, centrada na origem dos 2 eixos de um plano cartesiano ortogonal, ou seja, um plano definido por duas retas perpendiculares entre si, ambas com o valor 0 (zero) no ponto onde elas se cortam. Existem dois sentidos de marcação dos arcos no ciclo: o sentido positivo, chamado de anti-horário, que se dá a partir da origem dos arcos até o lado terminal do ângulo correspondente ao arco; e o sentido negativo, ou horário, que se dá no sentido contrário ao anterior.

Ficheiro:Circulo Trigonometrico tangente.png

Identidades Trigonométricas

Algumas equações envolvendo funções trigonométricas são verdade para todos os ângulos e são conhecidas como "identidades trigonométricas". Muitas expressam relações geométricas importantes. Por exemplo, as identidades Pitagoreanas são uma expressão do Teorema de Pitágoras. Aqui há algumas das identidades mais comumente utilizadas, assim como as fórmulas mais importantes conectando ângulos e lados de um triângulo arbitrário.

Fórmula fundamental da trigonometria e seus corolários

$\begin{align} \operatorname{sen}^2 A + \cos^2 A &= 1 \\ \tan^2 A + 1 &= \sec^2 A \\ 1+\cot^2 A &= \csc^2 A \end{align}$

Identidades de soma e subtração

$\begin{align} \mbox{sen}(A \pm B) &= \mbox{sen} A \cos B \pm \mbox{sen} B \cos A \\ \cos(A \pm B) &= \cos A \cos B \mp \mbox{sen} A \mbox{sen} B \\ \tan(A \pm B) &= \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} \\ \cot(A \pm B) &= \frac{\cot A \cot B \mp 1}{\cot B \pm \cot A} \end{align}$ ^[4]

Fórmulas da duplicação do ângulo

$\begin{align} \operatorname{sen}(2A)&= 2 \operatorname{sen} A \cos A \\ \cos(2A)&= \cos^2 A - \operatorname{sen}^2 A \\ &= 2 \cos^2 A -1 \\ &= 1-2 \operatorname{sen}^2 A \\ &= {1 - \tan^2 A \over 1 + \tan^2 A}\\ \tan(2A)&= \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}\\ &= \frac{2 \cot A}{\cot^2 A - 1}\\ &= \frac{2}{\cot A - \tan A} \end{align}$

Fórmulas da divisão do ângulo em dois

Note que $\pm$ significa que pode haver qualquer dos dois sinais, dependendo do valor de $A/2$ .

$\begin{align} \operatorname{sen} \frac{A}{2} &= \pm {\sqrt\frac{1-\cos A}{2}} \\ \cos \frac{A}{2} &= \pm {\sqrt\frac{1+\cos A}{2}} \\\tan \frac{A}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}} \end{align}$

Identidades triangulares

As identidades que se seguem referem-se a um triângulo com ângulos $A$ , $B$ e $C$ e lados de comprimentos $a$ , $b$ e $c$ , como na figura ao lado. Repare que o lado oposto ao ângulo $A$ é o de comprimento $a$ , o lado oposto ao ângulo $B$ é o de comprimento $b$ e o lado oposto ao ângulo $C$ é o de comprimento $c$ .